Lirik Lagu Geisha - Seharusnya Percaya

Jujur membuatku serba salah

Tak jujur membuatku semakin salah

Lalu harus bagaimana lagi

Agar kau terima

Sungguh ku tak berdusta

Sungguh mati ku tak menyangka

Emosimu yang tak pernah kau jaga

Lirik Lagu Geisha - Pergi Saja

Terima kasih ‘tuk luka yang kau beri

Ku tak percaya kau t’lah begini

Dulu kau menjadi malaikat di hati

Sampai hati kau telah begini

Berkali-kali kau katakan sendiri

Kini ku t’lah benci

Cintaku t’lah pergi

Lirik Lagu Geisha - Cintaku Hilang

Seandainya bisa terulang kembali

Saatpertama bertemu

Antara kau dan aku

Kau sentuh jemari tanganku terbuai

Indahnya kata cinta

Terucap olehmu

Manis…

Lirik Lagu Geisha - Lumpuhkan Ingatanku

Jangan sembunyi

Kumohon padamu jangan sembunyi

Sembunyi dari apa yang terjadi

Tak seharusnya hatimu kau kunci

Bertanya…

Cobalah bertanya pada semua

Disini ku coba untuk bertahan

Ungkapkan semua yang ku rasakan

GRUP SIKLIK

• SUBGRUP SIKLIK

Teorema 1. Misalkan G adalah grup, a ϵ G dan H = { a^n | n ϵ Z}, maka : (i) H £ G; (ii) H subgrup terkecil G yang memuat a.

Bukti bisa di download dibawah.

Contoh :
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
<4> = {0, 2, 4} = <2>
<3> = {0, 3}
<1> = <5> = Z6

GRUP

• OBESRVASI TENTANG PEMBUKTIAN

1. Pembuktian pernyataan yang berhubungan dengan definisi => harus dikembalikan pada aksioma-aksioma pada definisi.
2. Pembuktian pernyataan yang bukan teorema => ditunjukkan dengan counter example.
3. Pembuktian dengan kontradiksi (diandaikan lebih dulu).
4. Pembuktian teorema (jika ... maka ...) => membuktikan dengan menggunakan metode deduktif, jangan membuktikan dengan memberikan contoh-contoh khusus.
5. Pembuktian ketunggalan => menggunakan kontradiksi.

• PARTISI SUATU HIMPUNAN

Partisi adalah dekomposisi suatu himpunan ke dalam sel-sel yang saling asing dan jika digabungkan akan menjadi himpunan semula.

Contoh:

- Himpunan bilangan bulat, dapat dipartisi menjadi 2, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan ganjil

- Dalam 1 kelas (dimana kelas menyatakan himpunan), terpartisi menjadi 2, yaitu laki-laki dan perempuan.

• RELASI EKUIVALENSI ( ~ )

Suatu relasi antara 2 anggota himpunan yang memenuhi 3 aksioma sebagai berikut:

1. Refleksif (a ~ a)
2. Simetri (a ~ b => b ~ a)
3. Transitif (a ~ b dan b ~ c => a ~ c)

Contoh:

Dalam R, x ~ y jika |x| = |y|.
Bukti.

- Ambil sebarang x ϵ R maka |x| = |x| berarti x ~ x, ∀x ϵ R (refleksif)

- Ambil sebarang x, y ϵ R sehingga |x| = |y| maka |y| = |x|. Berarti jika x ~ y maka y ~ x (simetri)

- Ambil sebarang x,y, z ϵ R

  x ~ y maka |x| = |y|      ... (1)

  y ~ z maka |y| = |z|      ... (2)

  Persamaan (1) disubtitusi ke persamaan (2) menjadi :

  |x| = |z| sehingga x ~ z.

  Jadi, ∀x, y, z ϵ R maka (x ~ y) dan (y ~ z) maka x ~ z (transitif).

Karena ketiga aksioma dipenuhi, maka pernyataan diatas benar(terbukti).

• OPERASI BINER

Operasi biner pada suatu himpunan adalah suatu relasi yang memasangkan setiap 2 anggota tersebut dengan sebuah anggota himpunan.

Misal :

            Pada himpunan S

            (a, b) ϵ S^2 dan c ϵ S^2

            sehingga (a,b) -> c

Operasi biner (*) memiliki syarat yang harus dipenuhi dalam himpunan S. Kedua aksioma tersebut :

1. Tertutup : ∀a, b ϵ S maka a * b = c ϵ S.
2. Tunggal hasil : ∀a, b ϵ S, ada c! sehingga a * b = c

Jadi, operasi biner (*) dapat dikatakan merupakan suatu fungsi *: (s x s) => S

Contoh :

1. Operasi penjumlahan pada Z.

    (1, 3) -> 4 (1 + 3 =4)

2. M adalah himpunan semua matriks. Didefinisikan sebagai operasi "*", yaitu operasi penjumlahan matriks bukan operasi biner.

• DEFINISI GRUP

Grup adalah suatu sistem struktur aljabar yang memenuhi 4 aksioma dan terdiri dari suatu himpunan tak kosong [G,*]

1. Tertutup => ∀a, b ϵ G, maka a*b = c ϵ G 
2. Asosiatif => ∀a,b,c ϵ G maka a*(b*c) = (a*b)*c
3. Mempunyai elemen identitas terhadap * => ∀a ϵ G, ∃e ϵ G sehingga a*e = e*a = a
4. Setiap elemen di G punya invers => ∀a ϵ G, ∃a' ϵ G sehingga a*a' = a'*a = e , dimana a' disebut invers dari a.

Contoh :

1. Buktikan [Z, +] merupakan grup !
Jawab : Z disini merupakan himpunan bilangan bulat, maka penuhi 4 aksioma :

a. Tertutup
Ambil sebarang a, b ϵ Z, sehingga a+b ϵ Z (terbukti)

b. Asosiatif terhadap penjumlahan
Ambil sebarang a, b, c ϵ Z sehingga a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c (terbukti)

c. Mempunyai elemen identitas terhadap penjumlahan, yaitu 0.
Ambil sebarang a ϵ Z, maka ada 0 ϵ Z sehingga a+0 = 0+a = a. Maka terbukti memiliki elemen identitas yaitu 0.

d. Setiap elemen punya invers.
Ambil sebarang a ϵ Z, maka ada -(a) ϵ Zsehingga a+(-(a)) = (-(a))+a = 0 (terbukti)

Dari a, b, c, dan d, terbukti bahwa Z merupakan grup.

• SIFAT - SIFAT GRUP

1. Jika [G, *] adalah grup, maka berlaku Hukum Kanselasi, yaitu (i) x*y = x*z => y = z dan (ii) x*y = y*z => x = z, untuk∀x, y, z ϵ G.
Bukti.

(i) ambil sebarang x, y, z ϵ G sehingga

    x*y = x*z

    x' * (x*y) = x' * (x*z)

    (x' * x)*y = (x' * x)*z

    e*y = e*z

    y = z

(ii) ambil sebarang x, y, z ϵ G sehingga
     x*y = z*y
     (x*y)*y' = (z*y)*y'
     x*(y * y') = z*(y * y')
     x * e = z*e
     x = z

2. Jika [G, *] adalah grup, maka persamaannya : (i) a*x = b; (ii) x*a = b
Bukti.
# Akan ditunjukkan [G, *] mempunyai penyelesaian.
Ambil sebarang a, x, b ϵ G sehingga
a * x = b
a' * (a * x) = a' * b
(a' * a) * x = a' * b
e * x = a' * b
x = a' *b     <=   solusi

#Akan ditunukkan ketunggalan solusi.
Andaikan untuk sebarang a, x, b ϵ G sehingga a * x = b, ada 2 penyelesaian (tidak tunggal).
Misalkan ada 2 penyelesaian x1 tidak sama dengan x2 ϵ G sehingga
a * x1 = b
a * x2 = b
Dari 2 persamaan diatas a * x1 = a * x2 <=> x1= x2 (Hukum Kanselasi)
Terjadi kontradiksi bahwa ada 2 penyelesaian sehingga pengandaian di atas salah. Yang benar adalah hanya penyelesaian tunggal.

3. Jika [G, *] adalah grup dan a ϵ G adalah elemen identitas G maka e tunggal.
Bukti.
Andaikan tidak tunggal, misal e1 dan e2 dimana e1 tidak sama dengan e2 adalah elemen identitas.
Misal a ϵ G => a*e1 = a dan a*e2 = a
a*e1 = a*e2
e1 = e2   ..... (Hukum Kanselasi)
terjadi kontradiksi (pengandaian salah). Yang benar e itu tunggal.

4. Jika [G, *] adalah grup, maka ∀a ϵ G, (a')' = a.
Bukti.
Misalkan invers dari a adalah b (a' = b) sehingga (a*b) = (b*a) = e
padahal
(a*b) = (b' * a')
(a*b)(b' * a') = a * e * a'
                     = a*a'
e = b' * a'
e = b' * a'
e * a = (b' * a')*a
a = b' * (a' * a)
a = b' * e
a = b'
a = (a')' terbukti.

• SUBGRUP

Misalkan G adalah grup, H adalah subset (himpunan bagian) tak nol dari G, maka H disebut subgrup G, ditulis H ≤ G. Jika H merupakan grup terhadap operasi pada G.

Jadi, jika kita ingin membuktikan H subgrup G, maka kita buktikan bahwa H merupakan Grup (penuhi 4aksioma diatas).

• DEFINISI ORDER ELEMEN GRUP

Misalkan G adalah grup dan a ϵ G, n adalah order a, ditulis n = O(a) jika dan hanya jika n bilangan bulat positif terkecil sehingga a^n = e

^ atau pangkat => dilakukan dengan operasi penjumlahan. Misal: 1^5 = 1+1+1+1+1 = 5

Contoh:

Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

1+1+1+1+1+1 = 0     <=>    1^6 = 0    <=> O(1) = 6

2+2+2 = 0                  <=>    2^3 = 0    <=> O(2) = 3

3+3 = 0                      <=>    3^2 = 0    <=> O(3) = 2

4+4+4 = 0                  <=>    4^3 = 0    <=> O(4) = 3

5+5+5+5+5+5 = 0     <=>    5^6 = 0    <=> O(5) = 6

Teorema. Misalkan G grup, a ϵ G dan O(a) = n, maka ada n variasi perpangkatan dari a, yaitu a^1, a^2, ..., a^n, a^(n-1) = e.

Bukti.

1. Diketahui O(a) = n ==> a^n = e , n ϵ Z+

Ambil sebarang m ϵ Z, ada r, s ϵ Z sehingga m = r.n + s, 0 <= s <= n

Tinjau a^m.

a^m = a^(rn+s)

a^m = a^rn . a^s

a^m = (a^n)^r . a^s

a^m = e^r . a^s

a^m = a^s

ada variasi perpangkatan sbb : a^0 = e, a^1, a^2, ..., a^(n-1). (Hanya ada paling banyak n variasi)

2. Akan ditunjukkan semua variasi diatas berbeda. 

Ambil sebarang p, q ϵ Z sehingga 0 < p < q < n

Andaikan a^p = a^q   <=>   a^(p-q) = e, misal : q-p = k < n.

kontradiksi bahwa n bilangan bulat terkecil sehingga a^n =e.

Jadi, pengandaian salah. Yang benar a^p tidak sama dengan a^q, 0 < ∀p, q < n

• ALGORITMA PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

∀p, q, r, s  bilangan bulat berlaku p = r.q + s ; 0<= s <= q
dimana: q = hasil pembagian dan s = sisa

Contoh :
1. 16 dibagi 3 = 5 sisa 1. Jadi, algoritmanya 16 = 3.5 +1
2. Misal p = 5 dan q = 9, maka algoritmanya 5 = 0.9 + 5



Okee,, mungkin sekian dulu ya materinya. Semoga bermanfaat ^^,,

Struktur Aljabar (RING)

• RING

Ring (R, +, .) merupakan sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.), yang di definisikan pada R.

Aksioma-aksioma pada Ring, dimana a, b, c ϵ R :

1. Tertutup terhadap penjumlahan ( a+b ϵ R )