Struktur Aljabar (RING)

• RING

Ring (R, +, .) merupakan sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.), yang di definisikan pada R.

Aksioma-aksioma pada Ring, dimana a, b, c ϵ R :

1. Tertutup terhadap penjumlahan ( a+b ϵ R )
2. Memenuhi sifat asosisatif penjumlahan ( a+(b+c) = (a+b)+c )
3. Memiliki elemen identitas penjumlahan ( 0 ϵ R )
4. Memiliki invers penjumlahan (-a ϵ R )
5. Komutatif terhadap penjumlahan ( a+b = b+a )
6. Tertutup terhadap perkalian ( a.b ϵ R )
7. Asosiatif terhadap perkalian ( a.(b.c) = (a.b).c )
8. Memenuhi hukum distributif kiri dan kanan :

• Distributif kiri : a.(b+c) = a.b + a.c
• Distributif kanan : (a+b).c = a.c + b.c

Aksioma - aksioma Ring pada nomor 1 hingga nomor 5 dapat kita ringkas menjadi grup komutatif penjumlahan, karena aksioma tersebut merupakan syarat terbentuknya grup komutatif pada penjumlahan. Dengan kata lain, aksioma Ring :

• Grup komutatif (R, +)
• Tertutup dan memenuhi sifat asosiatif pada perkalian
• Memenuhi hukum distributif kiri dan kanan

Teorema 1. Jika R adalah ring yang memiliki unsur identitas penjumlahan, yaitu 0, maka untuk setiap a, b ϵ R berlaku :

1. 0a = a0 = 0
2. a(-b) = (-a)b = -(ab)
3. (-a)(-b) = ab

Contoh soal :

1. Hitunglah hasil kali (12)(-7) dan (13)(11) dalam Z_15.

Jawab :

Z_{15 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}}

(12)(-7) = -84 = 6 mod 15 = -4

-4 pada Z_{15 = 15 - 4 = 11}

_{maka (12)(-7) = 11 pada} Z_15.

Sedangkan (13)(11) = 143 = 9 mod 15 = 10

maka (13)(11) = 10 pada Z_15.

2.  Selidiki apakah 

merupakan ring atau bukan !
Jawab :

2

Definisi 1. Unitas adalah unsur identitas perkalian dalam suatu ring. Ring yang mempunyai unitas 1, sehingga untuk setiap a ϵ R, berlaku a1 = a = 1a dinamakan ring dengan unitas.

Definisi 2. Jika R suatu ring dengan elemen satuan (unitas) e, maka untuk suatu a ϵ R disebut unit, jika

a o a' = a' * a = e.

Definisi 3. Suatu ring R disebut Ring Komutatif jika dan hanya jika "a,b Î R, dan ab = ba.

Contoh : 

[R, +, .] komutatif jika dan hanya jika a^2 - b^2 = (a+b)(a-b). Buktikan!

jawab:

Þ Diketahui R komutatif, artinya ab = ba, "a,b Î R. Pandang

(a + b)(a - b) = (a+b)a - (a+b)b    (Hukum distributif)

                     = a^2 + ab - ab -b^2

                     = a^2 - b^2 (terbukti).

Ü Diketahui (a+b)(a-b) = a^2 - b^2

a^2 - ba - ab - b^2 = a^2 - b^2    (Hukum Kanselasi)

ba - ab = 0                                    (Identitas penjumlahan)

ba - ab + ab = ab

ba = ab (komutatif)

Jadi, R adalah ring komutatif.

Definisi 4. Suatu ring R dengan elemen satua dimana "a Î R, a ≠ {} adalah unity, maka R disebut division ring. Misalnya, R terhadap operasi + dan * adalah division ring.

Definisi 5. Suatu division ring yang bersifat komutatif (terhadap perkalian) dinamakan field. Beberapa penulis menyebut field sebagai lapangan. Division ring yang bersifat tidak komutatif (terhadap perkalian) dinamakan skew field.

Suatu himpunan tak kosong F disebut field jika memenuhi 
1. Grup komutatif terhadap penjumlahan; dan
2. F - {0} merupakan grup komutatif terhadap perkalian.

Dengan kata lain, F merupakan field jika :
1. Terhadap operasi penjumlahan (F, +) merupakan grup komutatif.
2. Terhadap operasi penjumlahan (F, .) merupakan grup komutatif.
3. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian (F, +, .) memenuhi hukum distributif (kiri dan kanan).

• SUBRING

Definisi. Misalkan R ring dan S subhimpunan tak kosong dari R. Maka S dikatakan subring dari R, dinotasikan S ≤ R jika S merupakan ring terhadap operasi biner yang sama pada R.

Bila kita ingin membuktikan bahwa S merupakan subring dari ring R, dimana S bukan merupakan himpunan kosong, maka kita harus membuktikannya dengan 8 aksioma penyusun ring di atas.

Teorema1. Sebuah subset S pada suatu ring R disebut subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap a,b ϵ S memenuhi :

1. S ≠ {},
2. a - b ϵ S,
3. ab ϵ S .

Setiap ring R paling tidak mempunyai 2 macam subring, yaitu subring R sendiri dan {0}. Subring {0} dinamakan subring trivial, sedangkan R dinamakan subring tak sejati.

Bukti klik disini