GRUP

• OBESRVASI TENTANG PEMBUKTIAN

1. Pembuktian pernyataan yang berhubungan dengan definisi => harus dikembalikan pada aksioma-aksioma pada definisi.
2. Pembuktian pernyataan yang bukan teorema => ditunjukkan dengan counter example.
3. Pembuktian dengan kontradiksi (diandaikan lebih dulu).
4. Pembuktian teorema (jika ... maka ...) => membuktikan dengan menggunakan metode deduktif, jangan membuktikan dengan memberikan contoh-contoh khusus.
5. Pembuktian ketunggalan => menggunakan kontradiksi.

• PARTISI SUATU HIMPUNAN

Partisi adalah dekomposisi suatu himpunan ke dalam sel-sel yang saling asing dan jika digabungkan akan menjadi himpunan semula.

Contoh:

- Himpunan bilangan bulat, dapat dipartisi menjadi 2, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan ganjil

- Dalam 1 kelas (dimana kelas menyatakan himpunan), terpartisi menjadi 2, yaitu laki-laki dan perempuan.

• RELASI EKUIVALENSI ( ~ )

Suatu relasi antara 2 anggota himpunan yang memenuhi 3 aksioma sebagai berikut:

1. Refleksif (a ~ a)
2. Simetri (a ~ b => b ~ a)
3. Transitif (a ~ b dan b ~ c => a ~ c)

Contoh:

Dalam R, x ~ y jika |x| = |y|.
Bukti.

- Ambil sebarang x ϵ R maka |x| = |x| berarti x ~ x, ∀x ϵ R (refleksif)

- Ambil sebarang x, y ϵ R sehingga |x| = |y| maka |y| = |x|. Berarti jika x ~ y maka y ~ x (simetri)

- Ambil sebarang x,y, z ϵ R

  x ~ y maka |x| = |y|      ... (1)

  y ~ z maka |y| = |z|      ... (2)

  Persamaan (1) disubtitusi ke persamaan (2) menjadi :

  |x| = |z| sehingga x ~ z.

  Jadi, ∀x, y, z ϵ R maka (x ~ y) dan (y ~ z) maka x ~ z (transitif).

Karena ketiga aksioma dipenuhi, maka pernyataan diatas benar(terbukti).

• OPERASI BINER

Operasi biner pada suatu himpunan adalah suatu relasi yang memasangkan setiap 2 anggota tersebut dengan sebuah anggota himpunan.

Misal :

            Pada himpunan S

            (a, b) ϵ S^2 dan c ϵ S^2

            sehingga (a,b) -> c

Operasi biner (*) memiliki syarat yang harus dipenuhi dalam himpunan S. Kedua aksioma tersebut :

1. Tertutup : ∀a, b ϵ S maka a * b = c ϵ S.
2. Tunggal hasil : ∀a, b ϵ S, ada c! sehingga a * b = c

Jadi, operasi biner (*) dapat dikatakan merupakan suatu fungsi *: (s x s) => S

Contoh :

1. Operasi penjumlahan pada Z.

    (1, 3) -> 4 (1 + 3 =4)

2. M adalah himpunan semua matriks. Didefinisikan sebagai operasi "*", yaitu operasi penjumlahan matriks bukan operasi biner.

• DEFINISI GRUP

Grup adalah suatu sistem struktur aljabar yang memenuhi 4 aksioma dan terdiri dari suatu himpunan tak kosong [G,*]

1. Tertutup => ∀a, b ϵ G, maka a*b = c ϵ G 
2. Asosiatif => ∀a,b,c ϵ G maka a*(b*c) = (a*b)*c
3. Mempunyai elemen identitas terhadap * => ∀a ϵ G, ∃e ϵ G sehingga a*e = e*a = a
4. Setiap elemen di G punya invers => ∀a ϵ G, ∃a' ϵ G sehingga a*a' = a'*a = e , dimana a' disebut invers dari a.

Contoh :

1. Buktikan [Z, +] merupakan grup !
Jawab : Z disini merupakan himpunan bilangan bulat, maka penuhi 4 aksioma :

a. Tertutup
Ambil sebarang a, b ϵ Z, sehingga a+b ϵ Z (terbukti)

b. Asosiatif terhadap penjumlahan
Ambil sebarang a, b, c ϵ Z sehingga a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c (terbukti)

c. Mempunyai elemen identitas terhadap penjumlahan, yaitu 0.
Ambil sebarang a ϵ Z, maka ada 0 ϵ Z sehingga a+0 = 0+a = a. Maka terbukti memiliki elemen identitas yaitu 0.

d. Setiap elemen punya invers.
Ambil sebarang a ϵ Z, maka ada -(a) ϵ Zsehingga a+(-(a)) = (-(a))+a = 0 (terbukti)

Dari a, b, c, dan d, terbukti bahwa Z merupakan grup.

• SIFAT - SIFAT GRUP

1. Jika [G, *] adalah grup, maka berlaku Hukum Kanselasi, yaitu (i) x*y = x*z => y = z dan (ii) x*y = y*z => x = z, untuk∀x, y, z ϵ G.
Bukti.

(i) ambil sebarang x, y, z ϵ G sehingga

    x*y = x*z

    x' * (x*y) = x' * (x*z)

    (x' * x)*y = (x' * x)*z

    e*y = e*z

    y = z

(ii) ambil sebarang x, y, z ϵ G sehingga
     x*y = z*y
     (x*y)*y' = (z*y)*y'
     x*(y * y') = z*(y * y')
     x * e = z*e
     x = z

2. Jika [G, *] adalah grup, maka persamaannya : (i) a*x = b; (ii) x*a = b
Bukti.
# Akan ditunjukkan [G, *] mempunyai penyelesaian.
Ambil sebarang a, x, b ϵ G sehingga
a * x = b
a' * (a * x) = a' * b
(a' * a) * x = a' * b
e * x = a' * b
x = a' *b     <=   solusi

#Akan ditunukkan ketunggalan solusi.
Andaikan untuk sebarang a, x, b ϵ G sehingga a * x = b, ada 2 penyelesaian (tidak tunggal).
Misalkan ada 2 penyelesaian x1 tidak sama dengan x2 ϵ G sehingga
a * x1 = b
a * x2 = b
Dari 2 persamaan diatas a * x1 = a * x2 <=> x1= x2 (Hukum Kanselasi)
Terjadi kontradiksi bahwa ada 2 penyelesaian sehingga pengandaian di atas salah. Yang benar adalah hanya penyelesaian tunggal.

3. Jika [G, *] adalah grup dan a ϵ G adalah elemen identitas G maka e tunggal.
Bukti.
Andaikan tidak tunggal, misal e1 dan e2 dimana e1 tidak sama dengan e2 adalah elemen identitas.
Misal a ϵ G => a*e1 = a dan a*e2 = a
a*e1 = a*e2
e1 = e2   ..... (Hukum Kanselasi)
terjadi kontradiksi (pengandaian salah). Yang benar e itu tunggal.

4. Jika [G, *] adalah grup, maka ∀a ϵ G, (a')' = a.
Bukti.
Misalkan invers dari a adalah b (a' = b) sehingga (a*b) = (b*a) = e
padahal
(a*b) = (b' * a')
(a*b)(b' * a') = a * e * a'
                     = a*a'
e = b' * a'
e = b' * a'
e * a = (b' * a')*a
a = b' * (a' * a)
a = b' * e
a = b'
a = (a')' terbukti.

• SUBGRUP

Misalkan G adalah grup, H adalah subset (himpunan bagian) tak nol dari G, maka H disebut subgrup G, ditulis H ≤ G. Jika H merupakan grup terhadap operasi pada G.

Jadi, jika kita ingin membuktikan H subgrup G, maka kita buktikan bahwa H merupakan Grup (penuhi 4aksioma diatas).

• DEFINISI ORDER ELEMEN GRUP

Misalkan G adalah grup dan a ϵ G, n adalah order a, ditulis n = O(a) jika dan hanya jika n bilangan bulat positif terkecil sehingga a^n = e

^ atau pangkat => dilakukan dengan operasi penjumlahan. Misal: 1^5 = 1+1+1+1+1 = 5

Contoh:

Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

1+1+1+1+1+1 = 0     <=>    1^6 = 0    <=> O(1) = 6

2+2+2 = 0                  <=>    2^3 = 0    <=> O(2) = 3

3+3 = 0                      <=>    3^2 = 0    <=> O(3) = 2

4+4+4 = 0                  <=>    4^3 = 0    <=> O(4) = 3

5+5+5+5+5+5 = 0     <=>    5^6 = 0    <=> O(5) = 6

Teorema. Misalkan G grup, a ϵ G dan O(a) = n, maka ada n variasi perpangkatan dari a, yaitu a^1, a^2, ..., a^n, a^(n-1) = e.

Bukti.

1. Diketahui O(a) = n ==> a^n = e , n ϵ Z+

Ambil sebarang m ϵ Z, ada r, s ϵ Z sehingga m = r.n + s, 0 <= s <= n

Tinjau a^m.

a^m = a^(rn+s)

a^m = a^rn . a^s

a^m = (a^n)^r . a^s

a^m = e^r . a^s

a^m = a^s

ada variasi perpangkatan sbb : a^0 = e, a^1, a^2, ..., a^(n-1). (Hanya ada paling banyak n variasi)

2. Akan ditunjukkan semua variasi diatas berbeda. 

Ambil sebarang p, q ϵ Z sehingga 0 < p < q < n

Andaikan a^p = a^q   <=>   a^(p-q) = e, misal : q-p = k < n.

kontradiksi bahwa n bilangan bulat terkecil sehingga a^n =e.

Jadi, pengandaian salah. Yang benar a^p tidak sama dengan a^q, 0 < ∀p, q < n

• ALGORITMA PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

∀p, q, r, s  bilangan bulat berlaku p = r.q + s ; 0<= s <= q
dimana: q = hasil pembagian dan s = sisa

Contoh :
1. 16 dibagi 3 = 5 sisa 1. Jadi, algoritmanya 16 = 3.5 +1
2. Misal p = 5 dan q = 9, maka algoritmanya 5 = 0.9 + 5



Okee,, mungkin sekian dulu ya materinya. Semoga bermanfaat ^^,,