GRUP SIKLIK

• SUBGRUP SIKLIK

Teorema 1. Misalkan G adalah grup, a ϵ G dan H = { a^n | n ϵ Z}, maka : (i) H £ G; (ii) H subgrup terkecil G yang memuat a.

Bukti bisa di download dibawah.

Contoh :
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
<4> = {0, 2, 4} = <2>
<3> = {0, 3}
<1> = <5> = Z6


<4> = <2> = {0, 2, 4} didapatkan dari
2^1 = 2             2^(-1) = 4
2^2 = 4             2^(-2) = (2^2)^(-1) = 2
2^3 = 0
2^4 = 2

Note: Apabila subgrup siklik suatu grup dilepaskan dari grup induknya maka subgrup siklik tersebut akan menjadi suatu grp ang berdiri sendiri.

Contoh :
H = {0, 2, 4} dengan operasi penjumlahan modulo 6 adalah suatu grup dan disebut grup siklik. Grup {0, 2, 4} = 2 (grup yang dibangun 2)

• GRUP SIKLIK

Definisi. G disebut Grup Siklik jika dan hanya jika ada a ϵ G sehingga setiap anggota G merupakan perpangkatan dari a. Dinotasikan dengan G = <a>

Contoh :
1. G = {0, 2, 4} yang merupakan siklik, karena ada 2 ϵ G sehingga
     0 = 2^3
     4 = 2^2
     2 = 2^1

2. H = {0,3} yang merupakan siklik, dengan penjumlahan modulo 6. Karena ada 3 ϵ G sehingga
     0 = 3^2
     3 = 3^1,  sehingga H = <3>

3. [Z, +] = <1> grup siklik.
4. [3Z, +] = { ..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ... } = <3> yang merupakan grup siklik.

• SIFAT-SIFAT GRUP SIKLIK

1. Setiap grup siklik adalah abelian (grup komutatif).
2. Setiap subgrup dari grup siklik juga siklik.

Berikut bukti dari teorema dan sifat-sifat grup siklik. Klik disini.